¿Cuál es un ejemplo de la vida real de un sistema con bloque Jordan (s) tamaño 2+?

Ejemplo uno:

Supongamos que todos nacen con un número predeterminado de años de vida y que este número de años nunca es más que [matemáticas] 100 [/ matemáticas]. Deje [math] v \ in \ mathbb {R} ^ {100} [/ math] el vector cuya [math] i [/ math] -th coord es el número de personas con [math] i [/ math] más años de vida

(Simplificaremos las cosas suponiendo avances de tiempo en incrementos de un año).

Entonces el operador [math] T: \ mathbb {R} ^ {100} \ to \ mathbb {R} ^ {100} [/ math] que representa el paso de un año será un solo bloque Jordan de valor propio [math] 0 [/ matemática] y tamaño [matemática] 100 [/ matemática].

¿Puedes ver por qué? De lo contrario, intente reemplazar [matemática] 100 [/ matemática] con [matemática] 3 [/ matemática] o [matemática] 4 [/ matemática] y elabore algunos ejemplos pequeños. ¿Qué hace [math] T [/ math] a los vectores básicos estándar para [math] \ mathbb {R} ^ {100} [/ math] (y qué significan estos vectores básicos en términos de personas)?

Ejemplo dos:

En el espacio vectorial real de funciones suaves [math] \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math], el lapso de [math] f_0 (x) = e ^ x [/ math] y [math] f_1 (x) = xe ^ x [/ math] es un subespacio bidimensional. La diferenciación con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] es un operador lineal en este espacio, y actúa con un bloque de Jordan con valor propio [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y tamaño [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Para ver esto, simplemente tenga en cuenta que la matriz de [math] \ frac {d} {dx} [/ math] con respecto a la base [math] \ {f_0, f_1 \} [/ math] es

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 1 \\ 0 y 1 \ end {pmatrix} [/ math].

Puede generalizar esto al estudio del lapso de [math] \ {f_0, f_1, \ ldots, f_n \} [/ math], donde [math] f_k = \ frac {1} {k!} X ^ ke ^ k [/ matemáticas]. Este siempre será un bloque de Jordan único con valor propio [matemática] 1 [/ matemática] y tamaño [matemática] n [/ matemática] [matemática] +1 [/ matemática]. Esto es porque

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {1} {k!} x ^ ke ^ x = \ frac {1} {k!} x ^ ke ^ x + \ frac {1} {(k- 1)!} X ^ {k-1} e ^ x [/ math].

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